Por vezes em conversa com alguns professores de filosofia verifico que eles não dão qualquer importância a ensinar os seus alunos a negar proposições. Mas isso é um erro elementar no ensino da filosofia e por uma razão muito simples: é impossível ensinar a pensar sem ajudar os estudantes a refutar argumentos. Ora, para refutar argumentos é necessário saber fazer a negação de proposições, invertendo o seu valor de verdade. Assim, se a proposição de origem for verdadeira, a sua negação é falsa e vice versa. Até aqui nada de especial, não fosse o caso das intuições mais comuns relativas a alguns tipos de negações serem, em geral, erradas. Vejamos os dois casos mais comuns de erro, o das proposições universais e das condicionais.
A negação de uma universal afirmativa, é uma particular negativa. Assim, a negação de “Todos os portistas gostam de futebol” não é “Nenhum portista gosta de futebol”, mas “alguns portistas não gostam de futebol”. Recordo que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade.
A negação de uma condicional como “Se os portistas ganham, então são campeões” não é “Se os portistas não ganham não são campeões”, mas “os portistas ganham, mas não são campeões”. A negação de «Se P, Q» é sempre «P, mas não Q».
Podem parecer pormenores simples para quem está habituado a raciocinar, mas não são simples para estudantes de 15 anos que provavelmente nunca foram confrontados com a questão.
26 comentários:
Olá Rolando.
Concordo contigo, é importante ensinar aos alunos como se refutam proposições. Deixa-me acrescentar o seguinte:
1- As proposições universais podem igualmente ser refutadas com um contra-exemplo, "Este portista não gosta de futebol". Não há, como é óbvio, contra-exemplos para as proposições particulares.
2- Quanto à negação das condicionais, é muito comum os alunos questionarem por que razão a proposição "Se os portistas não ganham não são campeões" não serve para negar a frase dada. É evidente que podemos responder com a regra lógica da negação das condicionais, mas, no meu entender, não basta. Penso que é importante referir que a frase dada, "Se os portistas ganham, então são campeões", apenas nos indica o que sucede se se verificar uma condição "Os portistas ganham", a proposição nada nos diz acerca do facto de os portistas não ganharem, esta é uma outra condição que não está prevista na antecedente da condicional dada. Assim, não faz sentido negar a condicional dada "Se os portistas ganham, então são campeões", com a frase "Se os portistas não ganham não são campeões", estaríamos a introduzir uma nova condição. Não sei se fui claro.
Prefiro utilizar a palavra "e" em vez de "mas" na negação das condicionais, apesar de ambas retratarem uma conjunção, penso que é mais simples para os alunos, ficaria assim: "Os portistas ganham e não são campeões".
Abraço.
Alexandre Marques
Bem visto Alexandre. Obrigado pelas dicas. Mas tens razão: isto tem de ser explicado muito claro para os alunos.
a negação da condicional é simples: temos de mostrar que a primeira parte da proposição não é condição da segunda, isto é, temos de mostrar que os portistas podem ganhar, mas ainda assim não serem campeões. Se continuares a fumar morres. Ora para negar isto temos de continuar a fumar e não morrer :-)
Um outro exemplo Alexandre::
Tu és do Porto, por exemplo e eu digo:
"se eu for ao Porto eu visito-te". Ora, se esta frase for V, torná-la F não é eu não ir ao Porto, mas precisamente eu ir ao Porto, mas não te visitar :-)
Olá Rolando.
Plenamente de acordo. As condicionais são muito importantes, assim como as duas formas válidas dos argumentos hipotéticos (modus ponens e tollens).
Há um outro tipo de exercício que realizo com os alunos, com o objectivo de mostrar que numa condicional, a antecedente introduz uma condição suficiente e a consequente uma condição necessária. Os alunos sentem imensas dificuldades em compreender as duas noções. Exemplificando: "Se é um peixe, então é um animal". Utilizando uma linguagem mais simples diremos: "basta ser um peixe, para ser animal" ou "é necessário ser animal, para ser um peixe". Se trocarmos as condições suficiente e necessária, os alunos apercebem-se imediatamente que não faz sentido: "é necessário ser um peixe, para ser animal" ou "é suficiente ser animal, para ser peixe". Formalizando a condicional dada e considerando a variável P para Peixe e Q para animal, temos a proposição P -> Q. Se nos referimos a uma condição suficiente, então é impossível P ser verdadeira e Q falsa. Se nos referirmos a uma condição necessária, então é impossível Q ser verdadeira e P falsa.
Neste exercício: "Ver a Joana na rua é uma condição____________ para crer que ela está na rua".
Convido os alunos a pensarem numa condição suficiente e a fazerem o seguinte raciocínio: se é uma condição suficiente e imaginando que a primeira parte da frase é verdadeira, então é impossível que a segunda parte da frase seja falsa. De facto, se é verdade que eu vi a Joana na Rua, então, forçosamente, tenho de acreditar que ela está na rua. Se pensar que é uma condição necessária, analiso a segunda parte da frase e faço o seguinte raciocínio: se é uma condição necessária e imaginando que a segunda parte da frase é verdadeira, então é impossível que a primeira parte seja falsa. É verdade que eu creio que a Joana está na rua, isto significa que ela está de facto na rua? Não necessariamente, eu posso acreditar que ela está na rua e estar enganado quanto a este facto. Então, se é possível a segunda parte da frase ser verdadeira e a primeira falsa, não se trata de uma condição necessária, mas sim suficiente. "Ver a Joana na rua é uma condição suficiente para crer que ela está na rua". Confuso?
Abraço.
Alexandre
Sim, o teu exercício é engenhoso. Há sempre alguns alunos que ficam com algumas dificuldades. Não estou habituados a pensar sobre as coisas. Mas a relação entre condições necessárias e suficientes parece resultar bem.
abraço
Rolando, nunca é demais chamar a atenção para a negação de proposições, como fazes aqui. Há, contudo, duas precisões a fazer no que afirmas com a seguinte frase:
«Ora, para refutar argumentos é necessário saber fazer a negação de proposições, invertendo o seu valor de verdade.»
A primeira precisão é que, ao contrário do que aqui afirmas, nem sempre precisas de saber negar proposições para refutar um argumento. Por exemplo, não precisas de saber negar proposições para saber que muitos argumentos são inválidos. Assim, diria antes que saber negar proposições é importante para saber com que estás comprometido quando discordas daquilo que alguém afirma. Só indirectamente é que isso se torna interessante para avaliar argumentos (por exemplo, para saber se um dado argumento é sólido). Em suma, saber negar proposições é importante para se saber o que se está a querer dizer e para se saber se realmente se concorda ou não com o que alguém afirma.
A segunda precisão é que o que afirmas na segunda parte dessa frase é literalmente falso: não é, em bom rigor, verdade que negar uma proposição seja inverter o seu valor de verdade. Compreende-se o que queres dizer, mas acho que a forma como o dizes trai o que tinhas em mente. Isto porque dás a entender que a negação de uma proposição é a mesma proposição, só que com diferente valor de verdade, o que é bizarro. Ora, a negação de uma proposição é sempre OUTRA proposição e não a mesma com outro valor de verdade. A negação da proposição expressa pela frase "Deus existe" é outra proposição diferente, desta vez expressa pela frase "Deus não existe". Mas aqui estão a ser expressas DUAS proposições e não uma. Em suma, a negação de uma proposição é sempre outra proposição diferente.
É claro que isto é apenas um preciosismo, mas é só para prevenir eventuais confusões dos leitores.
Obrigado Aires,
A correcção é excelente e é por falta desse rigor que muitas vezes não sabemos responder convenientemente aos alunos.
Muito bem.
Uma observação:
A contrária de "Todos os portistas gostam de futebol" é "Nenhum portista gosta de futebol". Caso se se considere a primeira Verdadeira, a segunda é necessariamente Falsa e, portanto, a segunda altera o valor de verdade da primeira. No entanto, isso não significa que seja a negação da primeira.
Carlos JC Silva
... ou melhor, não será por isso (por a segunda alterar o valor de verdade da primeira) que é a negação da primeira mas é a negação da primeira por revelar "oposição" em relação a ela. De referir que a oposição tanto pode ser quanto à qualidade, como à quantidade ou ambas. Claro que a oposição máxima (contraditórias) implica valores de verdade distintos, obedecendo ao princípio da (não) contradição: A e não A é falso.
Caro Carlos,
Há várias confusões no que diz. Se negarmos a primeira proposição, obtemos uma proposição DIFERENTE e não a mesma. Por isso não é rigoroso afirmar que está a alterar o valor de verdade da primeira. A primeira continua, pois, a ter o mesmíssimo valor de verdade que sempre teve. Se era falsa, continua falsa; a sua negação (que é outra proposição) é que é verdadeira.
Outra coisa. Apesar de não o dizer, a sua resposta sugere que duas proposições contrárias têm necessariamente diferentes valores de verdade. Mas isso está errado. É certo que no par de proposições que deu como exemplo não podem ser ambas verdadeiras; mas podem ambas ser falsas. Aliás, creio que são de facto ambas falsas. Portanto, têm o mesmo valor de verdade e são contrárias. As contraditórias é que não podem ter ambas o mesmo valor de verdade. De resto, o princípio da não contradição não ajuda a esclarecer grande coisa aqui.
O que lhe parece?
Abraço
Em primeiro lugar, quero agradecer as suas observações/correcções.
Claro que "se negarmos a primeira proposição, obtemos uma proposição DIFERENTE e não a mesma. Por isso não é rigoroso afirmar que está a alterar o valor de verdade da primeira. A primeira continua, pois, a ter o mesmíssimo valor de verdade que sempre teve." (Dou a mão à palmatória. É importante ser-se mais rigorosos no modo como nos exprimimos).
O que não posso é dizer que "todos os portistas são apreciadores de futebol" (1) e, ao mesmo tempo, dizer que "nenhum portista é apreciador de futebol" (2) pela simples razão de que me estaria a contradizer (motivo pelo qual citei o Princípio da (não) contradição). O que quis dizer no meu primeiro comentário (10 de Outubro de 2010 00:25) é que dada a veracidade da proposição (1), inferimos necessariamente, por oposição, que a sua contrária (2) é falsa (foi neste sentido que empreguei o termo "alterado").
De resto, as contrárias não podem ser ambas verdadeiras mas podem ser ambas falsas (coisa que não neguei). Porém, no caso de se considerar a proposição (1) falsa, nada poderíamos afirmar sobre o valor de verdade da proposição (2), sua contrária, dado que seria desconhecido (V/F). Co efeito, ao considerarmos falso que "todos os portistas são apreciadores de futebol" não podemos inferir, por oposição, que seja verdade que "nenhum portista é apreciador de futebol", pelo simples facto de que (hipótese um) "alguns portistas podem ser apreciadores de futebol" e, nesse caso, seria falso dizer que "nenhum portista é apreciador de futebol" ou (hipótese dois) pode ocorrer que, de facto, não haja no universo dos portistas (ou mais correctamente, dos "portuenses") nenhum apreciador de futebol e, nesse caso, seria verdadeira a proposição "nenhum portista é apreciador ou gosta de futebol".
No meu primeiro comentário apenas me referi à hipótese de a proposição de tipo "A" ser verdadeira para mostrar que a sua contrária "E" é (necessariamente) falsa, contrariamente ao que o Rolando parece querer dizer quando refere que "a negação de uma universal afirmativa, é uma particular negativa. Assim, a negação de “Todos os portistas gostam de futebol” não é “Nenhum portista gosta de futebol”, mas “alguns portistas não gostam de futebol”. Recordo que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade."
Com efeito, o valor de verdade de "Nenhum portista gosta de futebol" é falso e, portanto, diferente do valor de verdade de "Todos os portistas gostam de futebol” caso se se considere esta proposição verdadeira, como parece ser o caso. Assim, o valor de verdade quer da contrária quer da contraditória de "Todos os portistas gostam de futebol", que é verdadeira, é em qualquer dos casos Falso.
Respeitosos cumprimentos,
Carlos JC Silva
Olá a todos.
Penso que as correcções introduzidas pelo Aires Almeida, no seu primeiro tópico, são suficientemente claras. É uma questão de introduzir mais rigor nas definições que realizamos na sala de aula. Penso igualmente que não é necessário complicar em demasia o que me parece simples. As proposições universais negam-se com a respectiva contraditória ou com um contra-exemplo, uma vez que só há negação quando as proposições têm valores de verdade opostos. As contrárias não servem uma vez que ambas podem ter o mesmo valor de verdade (podem ser ambas falsas). Penso igualmente ser importante referir aos alunos que duas contrárias falsas, não sendo a negação uma da outra, são proposições inconsistentes, na medida em que não podem ser ambas verdadeiras. Concordam?
Como estás,
Alexandre Marques!?
Penso que a questão da negação das proposições é mais visível e útil no domínio dos silogismos (na lógica aristotélica), nomeadamente na chamada Redução dos Silogismos aos modos da primeira figura, considerada a mais perfeita. Veja-se, a este propósito, o modo BOCARDO. Depois de reduzido passa a modo BARBARA, da 1.ª fig.. A consoante interna "C" do modo BOCARDO, indica a substituição de uma premissa (O) pela contradição da conclusão. É a Redução ao Absurdo.
De resto, de acordo contigo: não é necessário complicar em demasia o que é, aparentemente, simples.
Abraço,
Carlos JC Silva
... Sem pretender complicar, quando referes no primeiro comentário que "Este portista não gosta de futebol", não há, como é óbvio, contra-exemplos para as proposições particulares", se tomarmos uma proposição singular, como é o caso, como particular, o que parece ser consensual, então a negação/refutação dessa proposição será a sua contraditória: "este portista não gosta de futebol" seria equivalente a "alguns portistas não gostam de futebol" que se nega afirmando que "todos os portistas gostam de futebol"!
Certo?
Carlos
Caro Carlos,
Não sei se compreendo bem o que diz na seguinte passagem:
«No meu primeiro comentário apenas me referi à hipótese de a proposição de tipo "A" ser verdadeira para mostrar que a sua contrária "E" é (necessariamente) falsa, contrariamente ao que o Rolando parece querer dizer quando refere que "a negação de uma universal afirmativa, é uma particular negativa. Assim, a negação de “Todos os portistas gostam de futebol” não é “Nenhum portista gosta de futebol”, mas “alguns portistas não gostam de futebol”. Recordo que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade." »
Parece-me estar a querer dizer aqui várias coisas que não sei se consigo entender bem.
Continua a insistir (penso que inadvertidamente, é certo) que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade. Como já tentei mostrar antes, isso não é correcto, embora se compreenda que se quer dizer outra coisa. A única maneira de alterar o valor de verdade de uma dada proposição seria alterar (não sei bem como) a realidade que a torna verdadeira (caso seja verdadeira) ou falsa (caso seja falsa). Portanto, insisto, negar uma dada proposição não é alterar o seu valor de verdade; não é "mudar" a realidade.
Refere que o Rolando nos está a induzir de algum modo em erro quando ele diz que a negação de uma universal afirmativa é uma particular negativa, alegando que o Rolando quer com isso dizer que a contrária de uma proposição do tipo A verdadeira não tem de ser falsa. Nesse caso, o Carlos não devia concordar que a negação de uma proposição universal afirmativa é uma particular negativa.
Seja como for, proposições do tipo A e do tipo E não são negações uma da outra, mesmo que a verdade de uma implique a falsidade da outra, como se torna claro no seguinte exemplo.
1) Todos os portugueses são milionários. (tipo A)
2) Nenhum português é milionário. (tipo E)
Ora, a verdade de 1 implica a falsidade de 2. Será, então que 2 é a negação de 1? A resposta é: Não!
Porquê? Porque PODEM ser ambas falsas (neste caso até são realmente ambas falsas) e a negação de uma dada proposição NÃO PODE ser outra proposição com o mesmo valor de verdade.
Assim, também a proposição expressa pela frase "Nenhum portista gosta de futebol" NÃO É a negação de "Todos os portistas gostam de futebol", apesar de a verdade desta implicar a falsidade daquela.
Um abraço,
Aires
Caro Carlos,
Não sei se compreendo bem o que diz na seguinte passagem:
«No meu primeiro comentário apenas me referi à hipótese de a proposição de tipo "A" ser verdadeira para mostrar que a sua contrária "E" é (necessariamente) falsa, contrariamente ao que o Rolando parece querer dizer quando refere que "a negação de uma universal afirmativa, é uma particular negativa. Assim, a negação de “Todos os portistas gostam de futebol” não é “Nenhum portista gosta de futebol”, mas “alguns portistas não gostam de futebol”. Recordo que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade." »
Parece-me estar a querer dizer aqui várias coisas que não sei se consigo entender bem.
Continua a insistir (penso que inadvertidamente, é certo) que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade. Como já tentei mostrar antes, isso não é correcto, embora se compreenda que se quer dizer outra coisa. A única maneira de alterar o valor de verdade de uma dada proposição seria alterar (não sei bem como) a realidade que a torna verdadeira (caso seja verdadeira) ou falsa (caso seja falsa). Portanto, insisto, negar uma dada proposição não é alterar o seu valor de verdade; não é "mudar" a realidade.
Refere que o Rolando nos está a induzir de algum modo em erro quando ele diz que a negação de uma universal afirmativa é uma particular negativa, alegando que o Rolando quer com isso dizer que a contrária de uma proposição do tipo A verdadeira não tem de ser falsa. Nesse caso, o Carlos não devia concordar que a negação de uma proposição universal afirmativa é uma particular negativa.
(continua)
(continuação)
Seja como for, proposições do tipo A e do tipo E não são negações uma da outra, mesmo que a verdade de uma implique a falsidade da outra, como se torna claro no seguinte exemplo.
1) Todos os portugueses são milionários. (tipo A)
2) Nenhum português é milionário. (tipo E)
Ora, a verdade de 1 implica a falsidade de 2. Será, então que 2 é a negação de 1? A resposta é: Não!
Porquê? Porque PODEM ser ambas falsas (neste caso até são realmente ambas falsas) e a negação de uma dada proposição NÃO PODE ser outra proposição com o mesmo valor de verdade.
Assim, também a proposição expressa pela frase "Nenhum portista gosta de futebol" NÃO É a negação de "Todos os portistas gostam de futebol", apesar de a verdade desta implicar a falsidade daquela.
Um abraço,
Aires
Peço desculpa pela repetição dos meus comentários. Sucede que quando enviei o primeiro fui informado que era muito longo, pelo que acabei por reenviar divido em duas partes. Fiquei surpreendido ao ver agora tanta coisa.
Não sei se deva pedir desculpa por ripostar, mas onde é que eu continuo a insistir que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade??!
1. No "post" a que se refere (10 de Outubro de 2010 13:03) apenas me limitei a transcrever, entre "...", um excerto, que penso ser a causa da confusão, que não é da minha autoria, mas do Rolando, (a quem desde já saúdo) e que diz o seguinte:
"a negação de uma universal afirmativa, é uma particular negativa. Assim, a negação de “Todos os portistas gostam de futebol” não é “Nenhum portista gosta de futebol”, mas “alguns portistas não gostam de futebol”. Recordo que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade.»
Este é o referido excerto, por mim citado!
Quanto a esta questão penso estar, desde já, tudo esclarecido, quando referi que, e passo a citar
"dada a veracidade da proposição Todos os portistas gostam de futebol, inferimos necessariamente, por oposição, que a sua contrária, Nenhum portista gosta de futebol, é falsa (foi neste sentido que empreguei, inadequadamente, a expressão "alterar o valor de verdade")". Com efeito, o valor de verdade da primeira mantém-se, como é óbvio. O valor de verdade da contrária é que é outro!
2. No entanto convém lembrar que o meu comentário inicial advém do seguinte:
Quando o Autor deste blog, o Rolando, refere erradamente, e passo a citar:
"Recordo que negar uma proposição é alterar o seu valor de verdade"
querendo com isso, porventura, dizer que a sua negação tem um valor diferente, e mais adiante acrescenta:
"a negação de Todos os portistas gostam de futebol não é Nenhum portista gosta de futebol, mas alguns portistas não gostam de futebol",
o conteúdo é correcto mas pareceu-me, com todo o respeito pelo Rolando que saberá, de resto, defender-se, vislumbrar no referido excerto um erro de raciocínio, dado que da veracidade de "todos os portistas gostam de futebol", se infere que a sua contrária é necessariamente falsa, tendo, portando valores de verdade diferentes. No entanto, é referido que apenas a particular negativa constitui a sua negação, o que é correcto, embora o exemplo da Universal afirmativa dado seja inadequado porque, por acaso, a sua contrária tem um valor diferente! Foi só isso que motivou a minha já muito longa intervenção.
Saudações,
Carlos
... onde se lê:
"o exemplo da Universal afirmativa dado seja inadequado porque, por acaso, a sua contrária tem um valor diferente!"
deverá ler-se:
"o exemplo da Universal negativa dado seja inadequado porque, por acaso, tem um valor diferente!".
Carlos, obviamente que não tem de pedir desculpa por rispostar. Eu é que tenho de pedir desculpa porque não reparei que estava a citar o Rolando naquela passagem e, assim, ter dado origem a uma discussão equivocada.
Tudo esclarecido.
Um abraço,
Olá Carlos.
Que bela coincidência encontrarmo-nos aqui no blog do Rolando. Está tudo em ordem contigo?
Depreendo pelos teus comentários que continuas a abordar a lógica aristotélica. Há já alguns anos que cheguei à conclusão que é muito limitada e não permite analisar argumentos mais elaborados e complexos. Passei a leccionar a lógica proposicional, incluindo as derivações, sem dúvida um método bem mais eficaz para avaliar a validade dos argumentos.
Quanto à questão que me colocas, a resposta é afirmativa. Para negar um contra-exemplo utilizamos a respectiva contraditória.
Tiro o meu chapéu ao rigor evidenciado pelo Aires, nem sempre nas nossas aulas conseguimos clarificar com o grau de precisão que ele evidencia, noções que, à partida, nos parecem simples.
Abraço.
Gostava de acrescentar que a questão da "negação" das proposições se coloca, a meu ver, com mais propriedade na "lógica proposicional", que é uma "lógica interproposicional". É aí que se fala de conectivas ou operadores proposicionais, como a negação. A tabela de verdade da negação é clara:
se P é verdadeiro, não P é falso e se P é falso, não P é verdadeiro.
Continuação de Bom Domingo
Carlos
Boa Noite Alexandre!
Eu também agradeço a disponibilidade do co-autor de um dos manuais de filosofia (Aires Almeida) em prestar esclarecimentos e intervir, coisa que não é muito habitual.
Quanto à opção pela lógica proposicional, és capaz de ter razão.
Carlos
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